数学上还有哪些无法解决的难题？

系统bug。佛朗克变频器设置好了不能启动一般是系统bug导致的。解决方法如下：1、首先打开我们的的佛朗客变频器检查我们的网络系统。2、其次检查完毕后重新打开我们的软件，检查变频器设置完成后再启动就好了。3、最后佛浪客变频器就可以启动了。

弗朗克从林乳油可以喷吃菜吗？应该是不可以

面对同样的批评，有的人会感到深深的自责，有的人满不在乎，有的人激烈反抗，有的人则毫无反应；面对同样的困难，有的人迎难而上，有的人止步不前，有的人得过且过，有的人淡然处之...... 相同的境遇，不同的人会有不同的表现,我们会认为这主要是性格因素造成的。 那又是什么造成我们性格上的千差万别呢？ 在豆瓣评分8.6的《 情感 依附》一书中，医学博士亨利u2022马西和精神分析师内森u2022塞恩伯格，通过记录76个婴儿从出生起到30岁的成长过程，全面分析和呈现了父母与孩子的关系对孩子核心人格形成的重要性。 家庭关系不仅意味着爱、包容和理解，还包括紧张、痛苦和冷漠，孩子在亲子关系中不仅感受到快乐，也感受着痛苦。 当孩子感受到痛苦时，他们会寻找方法进行缓解。 1、无法建立联结 在佛朗克婴儿期时，父母无论是在给他喂食、洗澡还是换衣服时，都很少与他说话，也没有笑容，互动也非常少。他们还会在孩子安静时去打扰他，这让佛朗克一直都处于紧张的状态。1岁后，佛朗克变得易怒、很难安抚，他经常感受到挫折，不知要干什么，也不愿意与人接触。 达芙娜的母亲每天都很手忙脚乱，她总是大声地说话，大声地笑，还会做鬼脸去逗孩子，很少让孩子安静地待着。她也很少注意到达芙娜的需求，她只是按照自己的想法去照顾孩子。在达芙娜1岁后，她也会拿着香蕉对母亲做鬼脸，就像母亲以前逗弄她一样。 凯文的父亲和外婆都不赞成生下他，母亲在缺乏支持的情况下照顾孩子显得有些压抑并且无法理解孩子的需求。当孩子想休息时，她认为孩子饿了；当孩子对外面充满好奇时，她又觉得孩子很吵。她总是笨拙的去安抚孩子，母子两个像是对方生活的入侵者。半岁后，凯文有些抑郁，很少有东西能吸引他。 以上三个案例虽然有所不同，但都是 父母与在孩子的婴儿期没有建立联结，父母与孩子的互动出现了问题。 早期孩子与父母的互动，包括目光的注视、 情感 的传递、肢体的接触，语言的表达等。孩子用眼睛、哭声、表情、肢体等一系列方式组合起来表达自己的需求，并通过父母的回应方式来感受爱和照顾。 他们的大脑神经元在父母一边照顾他们一边跟他们说着话中快速建立；每次对他们笑容的回应，就完成了一次 情感 的交流；当他们的需求及时得到满足后，一次交流联结完成。 不要觉得孩子小就疏忽和他们的交流，最初的联结在孩子出生后就开始了。 2、无法玩在一起 孩子自己玩着玩具，父母在旁边玩着手机，这不是玩在一起；孩子尝试着弄明白一个新玩具如何使用，父母在旁边指手画脚，不停说教，这不是玩在一起；孩子在尝试让轨道上的小 汽车 倒着跑，父母赶快纠正，这不是玩在一起。 没有共同的思考，不能让孩子在玩的过程中思考和感受快乐，就不能称之为玩在一起。父母和孩子玩在一起，与孩子的交流才能进一步加深，才能走进孩子的心理。 3、无法理解孩子 愤怒的父母认为孩子的所有行为都是“坏”的，是有意为之的；过度控制的父母认为孩子的所有行为都是在操纵别人。父母将自己的认知与情绪投射到了孩子身上，用自己的想法去理解孩子，否认了孩子真正感受和需求。 爱干净的父母喜欢家里一尘不染、整整齐齐，他们不允许孩子把家里弄乱，不允许孩子把自己弄脏，他们把自己的需求放在了孩子需求的前面，他们不理解孩子的感受和需求。 不理解孩子的感受，孩子就无法感受到爱，父母和孩子的交流也就只能停留在表面。 4、将痛苦外化 孩子有很强的适应能力，但他们的适应能力也不是无穷的，他们无法承受痛苦时，不良的行为特征就会出现。 6个月~1岁间：问题开始出现，活力减少，易怒，多动，很难平静...... 2岁：愤怒、狂躁、紧张、更具有破坏性...... 4~7岁：这是症状转化最重要的时期，不良症状越发的明显，注意力涣散、社交能力差、不成熟、低自尊、焦躁不安、行为多动、尿床...... 7~18岁：孩子的行为已被驯服，可他们失去了生气和活力，内心也逐渐枯竭。 与将痛苦外化的孩子不同，他们不良行为很少，也很少和父母发生冲突，他们将问题指向了自身。 1、复杂的爱 诺兰的父亲有点焦虑，缺乏耐心，喜欢指责妻子，控制欲强，经常对妻子和孩子的生活细节发表各种意见；母亲 情感 疏离，经常沉浸在自己的世界中，在照顾孩子的过程中容易烦躁。他们会旁若无人地摇着婴儿床，行为有些刻板，也无法给孩子足够的反馈。 乌拉的父母离异，父亲只负责赚钱，很少照顾她和她沟通；母亲经常把对父亲的怨恨转移到她身上，她会在喂奶时使劲地拍打孩子的后背，会让孩子哭20分钟不管，自己去喝咖啡，不愿和孩子交流。 芯娜的母亲快乐却过于忙碌，她对孩子说话大声，态度生硬，还容易激动。她喜欢和孩子在一起，但又会经常不打招呼的突然离开。父亲因自幼丧母，虽然 情感 丰富，却不善表达。 将痛苦内化的孩子生活在复杂的家庭关系中，感受到的爱都是复杂的。 他们平静地忍受着痛苦，有的甚至完全没有意识到自己不开心。从小被父母讨厌的孩子，长大之后会出现矛盾的 情感 ，空虚等问题，这会导致他们通过自恋的方式来弥补这种空虚感。 2、将痛苦内化 与痛苦外化的孩子相同，将痛苦内化的孩子也有不良的行为特征，只不过他们的行为不明显。与其他孩子交往时，他们会表现得消极、疏离和惶恐；他们不喜欢表达自己的情绪；他们情绪单调、行动拘谨；有的孩子会经常做噩梦；有的孩子出现发育迟缓；有的孩子慢慢变得自恋...... 多数父母在要孩子前都会做一些准备，戒烟、戒酒，锻炼身体，大量物质上的准备，寻找更好的教育资源等等。其实， 在养育孩子之前，父母更应该提高自己的修养，先把自己培养成为合格的父母。 1、信心 父母对孩子有信心，才能养育出自信的孩子。有信心的父母乐于寻求和接受建议，而不是认为自己永远是对的；有信心的父母会为孩子的积极表现表示出认可和骄傲；有信心的父母会对孩子的独立性感到喜悦，会欣赏孩子精力充沛的大笑大闹。 2、乐观 父母对孩子的成长充满了乐观，是对孩子进行良好的教育的基础。乐观的父母会给孩子机会成长，用安静的方式让孩子承受挫败。 3、镇静 镇静的父母可以理解孩子的行为、缓解孩子的紧张，以一种促进孩子成长的方式对孩子的情绪做出回应。 4、共情 共情不是同情，需要父母以爱为动力，洞察孩子的行为，让自己投入到孩子的体验中去，理解孩子的状态和情绪，掌握孩子的需要。 5、自律 父母自律，成为孩子的榜样，不靠处罚孩子来完成管教。自律的父母有足够的定力，不会轻易被孩子操纵。他们会通过自身的自律行为让孩子明白如何节制自己的行为。 阿德勒说：“幸福的人用童年治愈一生，不幸的人用一生治愈童年”。作为家长，给孩子留下巨额的财富，想方设法让他变得优秀、有才华，都不如给他一个幸福的童年，让他可以有勇气去面对生活上的各种困难与痛苦，用足够的幸福来治愈自己的一生。

Blaufrankisch，以“蓝佛朗克”中文译名最受业界认可。该品种原产于奥地利，是该国最传统的红葡萄品种，从18世纪就开始种植，目前德国、美国和澳大利亚等地也有种植。这是一种晚熟品种，需要种植在南向坡地，避免冷风的侵袭，尤其在布尔根兰(Burgenland)的山坡地带表现最好。下面佳酿网小编带领大家认识奥地利的蓝佛朗克及葡萄酒。蓝佛朗克在奥地利广泛种植，蓝佛朗克有着黑皮诺的优雅，巴罗洛的强劲单宁，还有西拉一般的香料气息。这一品种酿制的葡萄酒特别能反映产区的风土特色，且风格非常多样，既包括富有年轻活力的鲜爽风格，也包括单宁紧实，酒体中等的风格，还包括带有矿物质味，酸度较高，具有陈年潜力的风格。

发展受阻的孩子有如下表现，1、把痛苦外化，也就是向外释放宣泄，表现出某些问题行为，比如多动症，暴力行为等等。2、把痛苦内化了，也就是压抑自己的情绪，表现为抑郁，焦虑，恐惧等等。发展受阻的孩子，其父母有如下特征：1、不能与孩子建立联结，2、不能与孩子玩耍，3、经常把自己的情感投射在孩子身上，有时还意识不到，甚至有意否认这一点。4、自我认知和实际行为不一致，也就是说一套做一套，往往还不自知。5、把自己的需要摆在前面，孩子的需要放在后面，6、体罚孩子。这些行为也是家长在教育孩子的时候一定要注意避免的。我们来看一项研究，被研究的主人公弗兰克的故事，体会上述的那些不当的教养行为对他造成了哪些影响？在弗兰克小时候，母亲并没有给他充足的交流，总是像个木头人似的，冷酷且死气沉沉，她没有笑容，行为和表情都很机械，甚至，给弗兰克喂吃的时候也很少跟他说话，只有在给佛朗克换尿布的时候，她才会轻轻地动一下，而当佛朗克很安静的时候，她总是会打扰他，让他变得很紧张。这说明，这位母亲很难理解弗兰克的需求，也不知道该怎么应对，当弗兰克哭时，她表现得手足无措，没有任何反应。从3岁开始，弗兰克就经常挨打，直到七岁时打屁股的次数才减少到每周一次。佛朗克的一位同学出车祸去世了，佛朗克的父母告诉他，这都是不听父母话的后果。弗兰克30岁时，研究者再次见到了她，从心理测试的结果来看。童年早期的人格原型也就是压抑攻击性的习惯已经成型，他很难表达自己的愤怒，能控制愤怒是好事儿，但不会愤怒，可就是一种缺陷。他看起来很憔悴，很茫然，他告诉研究者感觉自己20年的时光好像丢了一样，他表现出了某些抑郁的特征，对自己感到困惑，怀疑自己是否适合目前的职业。他会周期性地做恶梦，在梦里他被怪兽追赶，但是枪却熄火了，她有某些躯体症状，甚至三天不能走路，却没有任何生理原因可循。自杀是他感兴趣的问题，但她并不否认自己需要心理援助。读到这里，我想大家应该或多或少认识到：好的教养对我们的人生有多重要。有人可能会说，这会不会是研究者的自我验证。这里我可以很肯定的告诉大家，不是的，这是因为根据弗兰克的早期教育对他未来发展作出预测的研究者，跟弗兰克30岁时评估它状况的研究者并不是同一波人。预测和实际结果是如此相近。为了不让弗兰克的经历发生在我们的孩子身上，在这儿我们有必要引以为戒，再来重复一下。导致弗兰克问题的不当教养方法。1，不能与孩子建立联结，2、不能与孩子玩耍，3、经常把自己的情感投射在孩子身上。有时还意识不到，甚至有意否认这一点。4、自我认知和实际行为不一致。5、把自己的需要摆在前面，孩子的需要放在后面，6、体罚孩子。

GRADUS匈牙利的酒

视习的成语有：循诵习传，习以成俗，习俗移性。视习的成语有：习以成俗，蹈故习常，秋风习习。2：结构是、视(左右结构)习(独体结构)。3：拼音是、shìxí。4：注音是、ㄕ_ㄒ一_。视习的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】见习。二、引证解释⒈见习。引郭沫若《＜少年维特之烦恼＞序引》：“此地有德意志帝国法院，当时年少的佛朗克府律师要在本地创业出庭以前，照例当来此视习。”三、网络解释视习视习是汉语词汇，读音是shìxí，意思是见习。关于视习的词语习以成俗陈规陋习积习成癖不习水土习俗移性风成化习习以为常习非成俗相习成风不习地土点此查看更多关于视习的详细信息

喇嘛教。。

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朱熹理学对欧洲启蒙思想家的影响以儒家学说为主体的中国传统文化具有五千年的悠久历史，它是人类优秀文化的积累。朱熹理学正是这种文化积累的重要组成部分。它不仅在继承、发展中华民族文化的优秀传统，维护和弘扬中华民族精神、维护和促进当时和后来的学术、文化和社会发展方面有不可抹煞的贡献，而且对西方文明的发展也有重大的作用。欧洲启蒙思想家是指在14至18世纪欧洲文艺复兴运动和启蒙运动中，为资产阶级革命鸣锣开道制造舆论的思想家。他们高举人文主义和理性学说的旗帜，批判宗教迷信、批判封建专制制度、批判特权等级制度。他们主张一切现象都来源于自然而不是“上帝的安排”。他们崇尚人类认识自然规律和理性法则，反对神学。他们提倡人性，反对神性；尊重人权，否定神权；主张科学和教育，反对蒙昧主义。启蒙思想家在运动中倡导的人文主义和理性学说成为文艺复兴运动、启蒙运动和资产阶级革命的锐利武器。启蒙思想家所倡导的人文主义、理性学说是从何处而来呢？应该说是来自启蒙运动的先驱者所留传下来的思想材料，但是当时，中世纪的欧洲的意识形态的所有领域都是基督教会独统天下的，他们用神学解释一切。正如恩格斯所说的:“中世纪只知道一种意识形态，即宗教和神学。”〔1〕因此， 这种思想文化的现实无法满足启蒙思想家的革命需要，难以提供启发民智和解放思想的理论和知识。在这种情况下，启蒙思想家就只有从非基督教统治的遥远的东方文明国家即中国那里汲取完全不同于欧洲气质的文化中合乎他们需要的理论和知识，来建构自己的学说即人文主义和理性学说。中国孔孟儒家学说和朱熹理学等正是在这种背景下，自明代万历年间始，由来中国传教的耶稣会教士与留欧中国学生介绍、传播到欧洲去，并成为启蒙思想家所汲取的理论养料和精神力量源泉的。孔孟儒家学说、朱熹理学等中国优秀传统文化影响了大批欧洲启蒙思想家，促进了启蒙运动和资产阶级革命的发展，推动了欧洲中世纪哲学的发展和近代欧洲文明的诞生。一、朱熹理学与莱布尼茨莱布尼茨（1646—1716年）是文艺复兴运动时期深受中国文明影响的德国著名的哲学家和自然科学家，是西方第一个确认中国文化对于辅助欧洲文化的发展十分有用的科学巨匠。莱布尼茨从21岁起开始研究中国，41岁研读了在巴黎出版的孔子论著和传记。在罗马，他结识了耶稣会士闵敏我，并从闵敏我和其他耶稣会士那里获得许多介绍中国情况的材料。1697年，他把这些材料结集出版，书名为《中国现状》。在该书的序言中，他热情呕歌中国的文明，还借用中国文明无情揭露和猛烈抨击当时的基督教统治:“我们在过去没有谁会相信在这世界上还有比我们伦理更完善，立身处世之道更进步的民族存在，现在从东方的中国，竟然使我们觉醒了。”他忠告欧洲社会:“欧洲文化之特长乃数学的、思辨的科学……，但在实践哲学方面，欧洲人实不如中国人。”“这样下去，我认为中国人在科学和艺术方面将会很快超过我们……我们生活得如此之混乱，道德沦落难以自拔，因此我认为必须请中国派遣圣哲到我们这里来，把治国艺术和被他们提高到如此完美的高度的那种自然神学教给我们，正如我们派遣教士到中国去传授上帝启示的神学一样。”可见，莱布尼茨对中国文化是极为崇拜的，崇拜到要求中国派遣人员到欧洲传授中国文化的境地。他认为中国儒家学说“是从约三千年以来建立的，并且极有权威，远在希腊人的哲学很久很久以前。”〔2 〕众所皆知，欧洲本土的古希腊文化具有多方面的成就，是公元前11世纪至公元前2世纪中叶的文化，它反映了古代欧洲的文明， 并为西方哲学的发展提供了养料。恩格斯说:“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽。”〔3〕但是， 莱布尼茨却认为早于古希腊哲学的中国儒家哲学远比古希腊哲学发达、先进、更具权威性。因此，莱布尼茨对于那些非议中国哲学的言论给予坚决的反驳:“我们这些后来者，刚刚脱离野蛮状态，就想谴责一种古老的学说，理由是因为这种学说似乎首先和我们普通的经院哲学不相符合，这真是狂妄之极。”〔4〕同时，他决心全力以赴地去研究中国文化， 并为此而倡导建立了柏林、维尔纳、彼得堡的科学院，将中国文化与哲学的研究列为这些科学院的研究项目。通过对中国文化与哲学的研究，莱布尼茨认为中国文化、朱熹的自然哲学和人文哲学都充满着理性；自然是合乎理性的，社会也应是合乎理性的；尊崇理性，是中国哲学家特有的珍贵品格。莱布尼茨完全接受了朱熹的“君主对人民要施行仁政，治国要以德为主”，“提倡仁君统治和大一统，反对君主专制”的观念，并提出建立开明君主制的主张。这些思想都从他出版的《中国现状》中充分地反映出来。《中国现状》不断发表耶稣会士介绍中国的文章。在后来的《中国现状》中，他又刊出原在北京传教的白晋所写的《康熙帝传》。在该刊物上他鲜明地指出，中国在康熙统治年间出现的安定和繁荣的社会景象就是他所追求的社会楷模。他称赞康熙皇帝尊崇儒学，导倡程朱，是最具有理性的皇帝。莱布尼茨在他临死前的一年即1715年，还给法国摄政奥尔良公爵的顾问德雷蒙写了长信——《论中国哲学》，表达他直到暮年仍然尊崇和向往中国理学家那种思想开放、独立思考、富有思辨的品格和崇尚理性的信念，仍在孜孜不倦地追求中国理学家崇尚的自然法则。莱布尼茨在对中国文化、朱熹理学等的研究中，汲取了充分的养料，培植了他的哲学成就，如:他提出了著名的“唯理论”学说，发表了与宋代理学家《伏羲六十四卦次序图》与《伏羲六十四卦方位图》完全一致的《二进制计算的阐述》论文和含有孔子、老子关于“道”的观念的《单子论》，从而开创了德国古典思辨哲学；同时，为现代数理逻辑和计算机科学的形成和发展奠定了最初的理论。“莱布尼茨成为符号逻辑或数理逻辑的前辈，对其观念的刺激，公认来自中国特殊的表意符号的性质。”〔5〕因此，从莱布尼茨的哲学成果和自然科学成果来说， 李约瑟的论断是科学的、正确的:“当爱因斯坦时代到来时，人们发现一长串的哲学思想家已经为之准备好了道路——从怀特海上溯到恩格斯和黑格尔，又从黑格尔到莱布尼茨——那时候的灵感也许就完全不是欧洲的了。也许，最现代化的欧洲的自然科学理论基础应该归功于庄周、周敦颐和朱熹等人的，要比世人至今所认识到的更多。”〔6〕到18世纪，莱布尼茨的弟子佛朗克和沃尔夫继承并发展了他的思辨哲学，继续重视对中国文化和社会的研究。1707年，佛朗克在哈雷创建东方神学院，专设了中国哲学专科。1721年沃尔夫因讲演《中国的实践哲学》而被逐，沃尔夫把莱布尼茨的辩证精神传给康德。康德在批判莱布尼茨——沃尔夫的哲学过程中，坚持对中国的研究，从中国文化中汲取力量，如他在《宇宙发展概论》中提出的天体起源的假说，把宇宙描绘成一个物质的发展过程和“大自然是自身发展起来的，没有神来统治它的必要”的观点，与朱熹的宇宙哲学中的“阴阳二气的宇宙演化论”的观点十分相似。因此，尼采称康德为“歌尼斯堡的伟大的中国人。”康德从早于他六百年的朱熹那里获得考察自然界的科学的方法——用辩证的、联系的和发展的观点去考察自然界，这就开了德国古典哲学的先河，推动自然科学进入了一个新的发展时期。

红酒与奶酪的搭配有一条规则“浓配浓，淡配淡”，酒体醇厚浓郁的红酒适合搭配风味同样浓郁的奶酪，比如陈年切达奶酪搭配赤霞珠，霞多丽搭配洗皮奶酪等等。大多数餐酒搭配专家都认为，白葡萄酒比红葡萄酒更适合搭配奶酪，这是因为白葡萄酒中不含单宁，因此在餐酒搭配中不需要顾虑到单宁。但是白葡萄酒最好不要搭配蓝纹奶酪，因为蓝纹奶酪的风味过于浓郁。在意大利威尼托，采用卡尔卡耐卡酿造的苏瓦韦白葡萄酒非常出名，其口感爽脆，余味带有苦杏仁的味道，像极了长相思葡萄酒的口感。不过，也正是这苦杏仁味令其与年轻的艾斯阿格奶酪相得益彰。而经过陈年的艾斯阿格奶酪则可搭配果香浓郁、半干型的普洛塞克或莫斯卡托。在凉爽的勃艮第地区，霞多丽葡萄酒口感丰富，花香和果香浓郁，并带有香草和太妃糖的橡木风味，非常适合搭配当地出产的埃普瓦斯奶酪。这种奶酪有着褶皱的橘色或红色外皮，质地柔软，粘稠醇厚，味道浓臭，当与霞多丽搭配时，其刺鼻的臭味竟然神奇地消失了！当然，如果您并不喜爱这种味道浓臭的洗皮奶酪，那可以尝试用口感细腻的重奶油奶酪来搭配霞多丽白葡萄酒。如需了解更多进口红酒，可以到 粤通天下商城 看看~

非常集中;充满果香及木香。丰富的颜色和味道，这酒提供了很多的深度。於2010开始饮用最佳.价格大概在300-500左右。

前段我看CCTV说中国解决了庞家莱猜想，我只知道这个！我搜了搜 你看看 这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。 因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。 不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 背景： 这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数 *** （被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在 *** 论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。2、问题2 算术公理相容性。背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。3、 问题7 某些数的无理性和超越性。见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。 如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。背景： 代数簌交点的个数问题。 和代数几何学有关。10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。 和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。12、 问题 20 一般边值问题。偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。13、 问题 23 变分法的进一步发展。四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。 为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。 每一道题的赏金均为百万美金。1、 黎曼猜想。见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。 透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题。 他们从数学上所推导的结果 是，这个粒子具有电荷但没有质量。 然而，困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。 一般物理学家是相信有质 量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。 已 知尺寸为n，如果能决定计算时间在d (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。 而能用这个 算法解的问题就是P 问题。 反之若有其他因素，例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。 但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 就是相当著名的PNP 问题。4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 新的结果。 法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。 所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。 用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。 经过20年之 后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。 但是对於我们真 正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。= 一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。 数天后「 *** 」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。 同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线。 自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系。 例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关。60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解。 通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 多个数不可能每个都要。 数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关。 经由长时间大量的计算与资料收集，他 们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。 他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 上同调类的有理组合。 」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 能是最不容易被一般人所了解的。 因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》 我直接复制的

创建人却是个德国小青年恩里克·罗威·罗斯伯格(en-rique loewe roess-berg)。89年，由于制皮工作坊的另两位salvatore ferragamo公司总部是位于佛罗伦萨中心的一幢文艺复兴的古堡。设计的衣服、手袋、皮革制品、披巾、领带、

康乃馨 麝香石竹 学名：Dianthus Caryophyllus 别名：麝香石竹 科属：石竹科石竹属 产地及分布： 原产于南欧、地中海北岸、法国到希腊一带。现在世界各地广泛栽培，被列为世界五大切花之一。 形态特征： 多年生草本植物。茎直立，多分枝，株高70～100厘米，基部半木质化。多数植株呈灰绿色。茎干硬而脆，节部略膨大。叶线状披针形，全缘，叶质较厚，上半部向外弯曲，对生，基部抱茎。 花通常单生，或聚伞状排列，花蕾椭圆形或圆锥状，花冠大而艳，花萼长筒状，萼端五裂。裂片剪纸状。花瓣扇形，花朵内瓣多呈皱缩状，花色有大红、桃红、粉红、纯黄、鹅黄、桔红、橙黄、白、紫、绿、深红色、还有镶边、拉丝等多种复色。部分具有香气。 品种：香石竹品种甚多，按花茎上花朵大小与数目，可分为2类： 大花香石竹，又叫大康，即现代香石竹的栽培品种，花朵大，每茎上一朵花，在昆明栽培品种较多，可分成近10个系列。 有红花系列的马斯特、多明哥、海伦、佛朗克等品种，花苞大，色彩艳，长势强健，在市场上很受欢迎； 桃红色系列的达拉斯、多娜、成功等品种占有优势。特别是达拉斯有生长快、产量高、花苞大、抗性强等优点，已成为生产中的主栽品种； 粉红色系列的有卡曼、佳勒、鲁色娜、粉多娜、奥粉等，其花大色美，抗性强，是国内目前的流行品种； 黄色系列的有日出、莱贝特、普菜托、黄梅等。花苞中性，以抗性强、花色纯正、鲜艳的品种受欢迎； 其它还有紫色系的紫瑞德、紫帝、韦那热； 橙黄色系的玛里亚、佛卡那；绿色系的普瑞杜； 白色系的白达飞，妮娃；复色系的俏新娘、内地罗、莫瑞塔斯等。 二、多头品种（或散枝品种，又叫小康），花朵小，主茎多分枝，花枝花朵散生。此种类有数百个切花品种。 母爱之花简介： 康乃馨，是全世界公认的“母爱之花，象征慈祥、温馨和真挚，在母亲节给母亲献上一束康乃馨已成风尚。母亲节是怎样形成的?以及为什么要献康乃馨?其中有一番来历. 1907年5月,美国费城的安娜嘉维斯女士在母亲逝世的追悼会上,向母亲献上了一束她生前喜爱的康乃馨.安娜还让亲友也都佩带白色的康乃馨,以纪念她母亲,还提议将每年的5月第二个星期日定为母亲节.每个人都沐浴着母爱长大，她认为这件事很有意义，就开始宣扬她的思想。她给许多有影响力的人写了无数的信，并在各地组织了母亲节的庆祝活动，逐步地获得了世人的认同.1914年5月7日,美国国会正式通过决议:将每年5月的第二个星期日定为母亲节。随着文化交流，母亲节逐渐成为一个世界性的节日. 1934年5月,美国首次发行母亲节纪念邮票.邮票上以位慈祥的母亲,正端详着面前花瓶里插着的一束鲜艳美丽的康乃馨。随着邮票的传播，人们更加紧密地将康乃馨和母亲节联系在一起，康乃馨便成了“母爱之花”。后来又形成富意:红色康乃馨表示母亲健在，白色表示母亲已经去世

法国。

2^n代表2的n次方世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯研究一直没有进展。1852年10月，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题。20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 -------- 世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多）。费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法 找到整数解。当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。---------------- 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。几个未解的题。 1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地： 当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=? 欧拉已求出： (1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6 并且当k为偶数时的表达式。 2、e+π的超越性 此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题。 证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？4、 存在奇完全数吗？ 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^505、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。」最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》

题目呢？

著名的德国数学家希尔伯特26岁就解开了许多权威没能解开的数学难题

查字典！！！！

在进行餐酒搭配时，如果说将猪肉归为白肉，还是不太准确的。因为严格来说，白肉是指味道比较清淡的肉类。通常，烹调猪肉的时候会加入各种调料，而所加的调 料就决定了这道菜的“红白”。因此，在搭配葡萄酒的时候，我们要考虑的不是食材，而是调味汁的风格。总体上来说，猪肉比较油腻，可以选择具有一定酸度的葡 萄酒。虽不是什么稀罕菜，但猪肉也可以做得非常精致，值得为之搭配一瓶好酒。其实，大多数情况下，白葡萄酒更适合搭配烤猪肉，只不过人们内心更倾向于用红葡萄酒配烤猪肉罢了。有人还会用红葡萄酒搭配加入了茴香、柠檬和大蒜的意式风格的烤肉。那么，究竟什么样的葡萄酒适合搭配烤猪肉呢？本文给出几种烤猪肉和葡萄酒的参考搭配方式。　　（1）意式烤肉：北罗讷或意大利的红葡萄酒，如克罗兹-埃米塔日或者经典基安帝红葡萄酒（有的人更倾心于黑皮诺）　　（2）传统的苹果酱烤猪肉：罗讷河丘村庄的葡萄酒　　（3）烤乳猪：轻到中等酒体的红葡萄酒　　如果抛弃传统观念，您会发现一些白葡萄酒（尤其是冰镇过的白葡萄酒）与烤猪肉非常合拍。　　（4）冷烤猪肉：老藤白诗南　　（5）烤五花肉：半干雷司令（要考虑配菜，如果是番茄就不宜搭配半干雷司令）　　（6）帕尔玛火腿：脆爽的雷司令、口感丰富、香味浓郁的灰皮诺　　（7）黑香肠：果味浓郁的晚收雷司令　　如果您想用果味丰富（特别是苹果和柑橘类水果的）的葡萄酒搭配猪肉的话，这些搭配就不会让您那么惊讶。在德国，猪肉的烹饪方式非常多，所以这些搭配方 式在当地很常见。这种餐酒搭配的化学反应过程令人着迷——葡萄酒的甜度中和了黑香肠的烟熏味和辣味，且酸度又可以解腻。　　2. 烧烤猪肉　　和上面提到的一样，选择葡萄酒的时候，我们要考虑到这道菜的调味料。如果菜的奶油味比较重的话，可以选择以下的搭配方式：　　（1）意大利风格的酱汁（如欧芹酱）：干型意大利白葡萄酒、瓦波利切拉葡萄酒或基安帝红葡萄酒。　　（2）香菇芥末奶油汁：勃艮第的红葡萄酒和白葡萄酒、产自凉爽地区且未经橡木桶或有轻微橡木味的的霞多丽、灰皮诺、武弗雷白葡萄酒。　　（3）砂锅猪肉炖菜或苹果（酒）猪肉馅饼：白诗南、霞多丽。另外，那些酒精度不太高且价格便宜的法国南部红葡萄酒也是不错的选择。　　3. 叉烧：浓烈的、具有果酱味的红葡萄酒。如西拉或澳大利亚的赤霞珠西拉混酿葡萄酒、智利的梅洛或佳美娜、皮诺塔吉、仙粉黛等。记住，选择奔放且具有甜美果味的葡萄酒就不会错。　　4. 咕噜肉：果味突出的新世界桃红葡萄酒（尤其是梅洛桃红葡萄酒）、雷司令、 鸽笼白、赛美蓉霞多丽混酿葡萄酒。　　5. 古拉许（Goulash，奥地利传统食物）：奥地利蓝佛朗克、里奥哈或风格相近的西班牙红葡萄酒。　　6. 猪肉炖豆，如豆焖肉（Cassoulet）、巴西黑豆餐（Feijoada）、菜豆汤 ：酒精度低的葡萄酒，中等酒体的红葡萄酒。如果菜偏辣，选择酒体更饱满的、果味更突出的葡萄酒，如纳瓦拉、西班牙红葡萄酒、马尔贝克。　　7. 熟食：经典法式熟食可选择法国葡萄酒；洋香芹火腿冻、熟肉酱可与果味突出的博若莱村庄级、博若莱特级村庄、马西亚克、干型桃红搭配。

你说的2015到2018年葡萄酒等一年好，这个怎么说呢？我觉得2016年的应该是比较好一点吧，我也不是特别肯定的

阿姆斯特丹 Amsterdam 荷兰的首都，最大的城市。人口约73.8万。 这里中世纪初仅是个渔村。12至15世纪因开展东方贸易而成为欧洲重要的贸易港口。17世纪的荷兰曾经是称雄海上的殖民国家，这里曾是荷兰两大殖民公司荷兰东印度公司和荷兰西印度公司的基地。18世纪后经济萧条，发展近于停滞。19世纪初成为荷兰王国的首都，但只是王宫的所在地，政府机构多数设在海牙。 荷兰约四分之一的国土在海平面以下，阿姆斯特丹是一座地势低于海平面1-5米的“水下城市”，城里河网密布，有“北方威尼斯”之称。以前整个城市的房屋都是以木桩打基，城市就象架在无数个木桩之上。 距离海牙60公里，布鲁塞尔204公里，鹿特丹76公里。 主要景点： 阿姆斯特丹运河，阿姆斯特丹是座水城，河网交错，河道纵横。有大小165条人工开凿或修整的运河道。河道上泊有两千多家“船屋”，虽然是船屋但设施齐全。乘玻璃船游览阿姆斯特丹才能真正体会水城的独特韵味。游船穿行在著名的河道间，河道两旁是典型的荷兰传统民居建筑。特点是房子正面和窗户都是细长的，这是因为当时征收房产税是按门面的面积征收，精明的荷兰人为了节省税都尽量减少正面的面积。由于门面狭小所以装饰的心思都放在了屋顶的山墙上。仔细观察会发现各家的山墙都不同。由于门窄，大型家具物品需从窗户进去，为此房上设有突出的吊钩。阿姆斯特丹著名的运河有皇帝运河、王子运河和绅士运河等。 水坝广场(Dam,也叫多姆广场)，阿姆斯特丹的市中心广场。因1270年阿姆斯特河上的第一个水坝修建于此而得名。广场中间白色的国家纪念碑建于1956年，以纪念二战中牺牲者。对面是荷兰王宫。旁边是大教堂，为荷兰历代君王加冕登基大典的地方。广场周围地区是阿姆斯特丹繁华商业区。 荷兰王宫(Koninklijk Paleis)，是17世纪荷兰黄金时代的精华建筑。最初是作为市政厅而建，1648年动工，地基打有13659根桩子。在法国拿破仑占领时被作为拿破仑其弟的王宫。1813年归还市政府。1935年为王室所有。如今为王室的迎宾馆。(www.koninklijkhuis.nl ) 图桑夫人蜡像馆，在王宫的左侧。是英国蜡像馆的分馆。图桑夫人最早在英国伦敦建蜡像馆。现在美国纽约、拉斯维加斯、香港都设有分馆。主要展出名人的蜡像。(www.madame-tussauds.com) 国立博物馆(Rijksmuseum)收藏有荷兰黄金时代的绘画作品。伦勃朗(Rembrandt)巅峰时期的作品几乎都收藏于此。此外还有世界各地的珍贵雕塑、陶器、家具、金银及玻璃珍品。有不少珍品是来自中国的文物。 (www.rijksmuseum.nl) 梵高博物馆(Van Gogh Museum)收藏有荷兰著名画家梵高(Van Gogh 1853-1890)两百多件油画和600多件绘画作品。此外还有印象派大师莫奈，高更的作品。(www.vangoghmuseum.nl) 安尼佛朗克屋(Anne Frank House)，二战期间的1942年，德国犹太女孩安妮为躲避纳粹的屠杀，躲藏在这密室中长达两年。写下了著名的《安妮日记》，是世界上最畅销的日记。它记叙了二战期间小作者一家和亲友为躲避纳粹而藏身阁楼的故事。这本日记被译成55种文字，总销量超过2500万册。地址：Prinsengracht No.263。 (www.annefrank.org) 荷兰航海博物馆(Nederlands Scheepvaart Museum)建在运河港湾旁，以前曾经是荷兰海军的军火库。博物馆展出荷兰黄金时代航海和殖民的历史资料。外面是荷兰东印度公司“阿姆斯特丹”号帆船的原样复制品。船上布置的场景使参观者可以了解当时航海生活的情景。(www.scheepvaartmuseum.nl) 钻石加工厂，十六世纪钻石加工业引进到荷兰，逐渐发展成世界著名的钻石加工中心。阿姆斯特丹著名的钻石加工厂都对外开放参观，由专业人士介绍钻石的加工过程和鉴定方法。并可在附设的商店购买纯正的钻石首饰。市内主要的钻石加工厂有Gassan Diamonds，Van Moppes Diamonds，Coster Diamonds。 喜力啤酒厂(Heineken)，创建于1864年的喜力啤酒是国际知名的啤酒品牌。参观啤酒厂可以了解喜力啤酒的发展历史和生产过程，并有可品尝到新鲜的纯正喜力啤酒。 红灯区，荷兰人思想开放，在大多数国家明令禁止的赌博、吸毒、嫖娼在荷兰竟是合法的。阿姆斯特丹的红灯区遍布着性用品商店，性表演场所和妓院。最具特色的是橱窗展示，妓女站在橱窗里搔首弄姿象商品一样供嫖客挑选。剧场上演的真人性爱表演是欧洲独一无二的。此外附近一些酒吧还是吸食软毒品的场所，在荷兰吸食大麻等软毒品是合法的。这一独特的风景吸引了大批游客，不过多数只是为了看西洋景。注意红灯区的橱窗女郎是不可以拍照的。 郊区的景点： 赞丹风车村(De Zaanse Schans)，荷兰著名的民俗公园。距阿姆斯特丹十几公里。村中保留了三座木制风车，及散落着十几座荷兰传统的木制建筑，用于展示荷兰的传统民俗文化。有现场表演荷兰木鞋、青花瓷及奶酪的制作过程，还出售荷兰特色的纪念品。(www.zaanseschans.nl)马肯(Marken)，最具荷兰风味的村镇。以前是个小岛，1957年建成的堤坝将岛变成了半岛。镇上满是狭窄的小街巷、绿色的木屋。如今镇上的妇女还经常穿荷兰传统的服饰。沃伦丹(Volendam)， 位於阿姆斯特丹北12公里，是典型的荷兰渔村风光。相关网址： 阿姆斯特丹公共交通： www.apti.in.nl www.gvb.nl 阿姆斯特丹斯希普霍尔机场(Schiphol)：www.schiphol.nl 这个网址里还有照片，，

题目呢

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我这个月也是刚用这个套餐，还不到一个月，当时工作人员和我说的是，以前的宽带都绑过来了，不用再拿宽带费了，这个宽带包月费不用管，具体我也不知道，得下个月才知道扣不扣费，你用了有一个月了吗？最后又扣钱了吗？

tough指尖酸,艰苦,艰辛,多强调的是一种磨难.1,A tough man.一个坚强的男人.2,What he said is so tough.他所说的真是刻薄!3,It"s really a tough task, tell me how did you do it?真是个艰巨的任务,告诉我你是怎么做到的?4,A tough question, isn"t it?尖锐的问题,不是吗?difficult则强调困难,主要是强调难度1,A man difficult to deal with一个难于对付的人2,The place is difficult of access.这地方很难进去3,Nothing is difficult to a man who wills.[谚]世上无难事, 只怕有心人。这些应该够你用了,有许多不常用的用法我就不写了.祝你学习进步!

荷兰的消费很高，高到你无法接受。阿姆斯特丹的主要景点介绍：阿姆斯特丹河网交错，河道纵横，高空俯瞰，状似蛛网。荷兰地少人多，不仅向海河要地，还向河上要房 ，阿姆斯特丹的河道上泊有2万多家“船屋”。虽然是船屋但设施齐全。乘玻璃船游览阿姆斯特丹才能真 正体会阿姆斯特丹水城的味道。游船穿行在著名的河道间，河道两旁是典型的荷兰民居。荷兰民居建筑特 点是房子正面和窗户都是细长的，这是因为当时征收房产税是按门面的面积征收，精明的荷兰人为了节省 税都尽量减少正面的面积。由于门面狭小所以装饰的心思都放在了屋顶的女儿墙上。仔细观察会发现各家 的女儿墙都不同。由于门窄，大型家具物品需从窗户进去，为此房上设有突出的吊钩。阿姆斯特丹著名的 运河有皇帝运河、王子运河和绅士运河等。 市中心水坝广场(Dam,也叫多姆广场）－是阿姆斯特丹的市中心。也是这座城市的发轫地。广场上的战争 慰灵碑是为纪念在两次世界大战中牺牲者而建。由荷兰上任女王于1956年5月4日主持揭幕。1945年5月5日 荷兰从纳粹德国占领下解放。每年此日荷兰女王和首相都要为纪念碑献花。对面是荷兰王宫。旁边是大教 堂，为荷兰历代君王加冕登基大典的地方。周围地区是繁华商业区。商业街头是中央火车站。 荷兰王宫(Koninklijk Paleis):是17世纪荷兰黄金时代结合荷兰艺术与建筑技术精华的建筑，整个建筑的 设计和装饰全出于荷兰著名的建筑师和装饰师之手。1648年动工。地基打有13659根桩子。最初是作为市 政厅，在法国拿破仑占领时被作为拿破仑其弟的王宫。1813年归还市政府。1935年为王室所有。如今为王 室的迎宾馆。宫殿的正面是围以黄铜栏杆的拱形游廊。宫内大厅设有“法座”，背景是象征正义和法律的 精美浮雕。法座的华盖上绘有东半球的地图，反映了17世纪的荷兰作为海上殖民强国的意图。大厅四壁是 大理石雕塑，拱形天花板上绘有神话故事。内厅的两了门楣上分别是立体雕的小天使和平面画的小天使， 两个作品非常相象。内厅是举行国宴和节日招待会的地方。王宫对外开放。 图桑夫人蜡像馆，在王宫的左侧。是英国蜡像馆的分馆。图桑夫人最早在英国伦敦建蜡像馆。现在美国纽 约、拉斯维加斯、香港都设有分馆。主要展出名人的蜡像。国立博物馆Rijksmuseum收藏有荷兰黄金时代的绘画作品。伦勃朗 (Rembrandt)巅峰时期的作品几乎都收藏于此。此外还有世界各地的珍贵雕塑、陶器、家具、金银及玻璃 珍品。有不少珍品是来自中国的文物。 梵高博物馆Van Gogh Museum (vangoghmuseum.nl)收藏有梵高(Van Gogh 1853-1890)200多件油画和600多 件绘画作品。此外还有印象派大师莫奈，高更的作品。安尼佛朗克屋Anne Frank House－1942年德国犹太女孩安妮为躲避纳粹的屠 杀，在这里的密室躲藏了两年。写下了著名的《安妮日记》，是世界上最畅销的日记。它记叙了二战期间 小作者一家和亲友为躲避纳粹而藏身阁楼的故事。这本日记被译成55种文字，总销量超过2500万册。是热 销时间最长的书。地址：Prinsengracht No.263。 荷兰航海博物馆(Nederlands Scheepvaart Museum)建在运河港湾旁，以前曾经是荷兰海军的军火库。博 物馆展出荷兰黄金时代航海和殖民的历史资料。外面是荷兰东印度公司“阿姆斯特丹”号帆船的原样复制 品。船上布置的场景使参观者可以了解当时航海生活的情景。

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很多很多。例如：1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=？更一般地：当k为奇数时，求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=? 欧拉已经求出了：(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6并且给出了当k为偶数时的表达式。于是，于是他提出了上述问题。2、e+π的超越性：背景：此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题（又称黎曼猜想）。 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ，(s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 背景：此为希尔伯特第8问题。 现已证明：ζ(s)函数中，前300万个零点确实符合猜想。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 背景： 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）。 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。 1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。 但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。 所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 背景： 这角古猜想（1930）。 人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果 是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质 量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。 P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已 知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个 算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。 由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚。 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。 经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之 后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真 正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。 = 一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了，这次是真的！」[14]。 数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关。 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他 们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 上同调类的有理组合。」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾-----------------------------------如有疑问欢迎追问！满意请点击右上方【满意】按钮

学海无涯，太多了

普罗旺斯

黎曼猜想

很多很多.例如：1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=?更一般地：当k为奇数时,求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=? 欧拉已经求出了：(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6并且给出了当k为偶数时的表达式.于是,于是他提出了上述问题.2、e+π的超越性：背景：此题为希尔伯特第7问题中的一个特例. 已经证明了e^π的超越性,却至今未有人证明e+π的超越性. 3、素数问题（又称黎曼猜想）. 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ,(s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点,除负整实数外,全都具有实部1/2. 背景：此为希尔伯特第8问题. 现已证明：ζ(s)函数中,前300万个零点确实符合猜想.引申的问题是：素数的表达公式?素数的本质是什么? 4、 存在奇完全数吗? 背景： 所谓完全数,就是等于其因子的和的数. 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数. 1973年得到的结论是如果n为奇完全数,则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外,再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗? 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）. 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂. 1976年,荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续.因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了. 但是,由于这个数太大,有500多位,已超出计算机的计算范围. 所以,这个猜想几乎是正确的,但是至今无人能够证实. 6、 任给一个正整数n,如果n为偶数,就将它变为n/2,如果除后变为奇数,则将它乘3加1（即3n+1）.不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1吗? 背景： 这角古猜想（1930）. 人们通过大量的验算,从来没有发现反例,但没有人能证明. 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题. 1、问题1连续统假设. 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数. 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统,即策莫罗-佛朗克尔公理系统里,不可证伪. 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统,不能证明此假设是对的. 所以,至今未有人知道,此假设到底是对还是错. 2、问题2 算术公理相容性. 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备,使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭. 3、 问题7 某些数的无理性和超越性. 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题. 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型. 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展. 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广. 背景：此问题只有些零散的结果,离彻底解决还十分遥远. 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性. 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形.如要求是解析函数则此问题尚未完全解决. 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础. 背景： 代数簌交点的个数问题.和代数几何学有关. 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑. 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目.和微分方程的极限环的最多个数和相对位置. 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间. 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题,现在仍未解决. 12、 问题 20 一般边值问题. 偏微分方程的边值问题,正在蓬勃发展. 13、 问题 23 变分法的进一步发展. 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出.为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题.每一道题的赏金均为百万美金. 1、 黎曼猜想. 见 二 的 3 透过此猜想,数学家认为可以解决素数分布之谜. 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题.透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外,对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响. 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论,杨振宁由 数学开始,提出一个具有规范性的理论架构,后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论,也使得他成为近代物理奠基的重要人物. 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子,而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题.他们从数学上所推导的结果 是,这个粒子具有电荷但没有质量.然而,困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的,那麼为什麼没有任何实验证据呢?而如果假定 该粒子有质量,规范对称性就会被破坏.一般物理学家是相信有质 量,因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题. 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大,计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」. P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母.已 知尺寸为n,如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时,我们就称之为「多项式时间决定法」.而能用这个 算法解的问题就是P 问题.反之若有其他因素,例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」,这类的问题就是「NP 问题」,NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写. 由定义来说,P 问题是NP 问题的一部份.但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢?或者NP 问题终究也成为P 问题?这 就是相当著名的PNP 问题. 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正,在修正的过程中产生了 新的结果.法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导,将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程. 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后,人们一直想知道 的是此解是否唯一?得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution),则解是唯一.所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大,有没有可能弱解会等於强解?换句话说,是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解?再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time). 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献,特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响,另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系,研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit),由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵. 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题.用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚. 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之 后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题. 庞加莱（图4）臆测提出不久,数学们自然的将 之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形,如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚. 经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖.经过20年之 后,另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖.但是对於我们真 正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜. = 一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测.数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息.同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了,这次是真的!」[14]. 数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞. 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线.自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系.例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关. 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解.通常会有无穷多解,然而要如何计算无限 呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷 多个数不可能每个都要.数学家自然的选择了质数,所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关.经由长时间大量的计算与资料收集,他 们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测.他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之 上同调类的有理组合.」 最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可 能是最不容易被一般人所了解的.因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾

视习的网络解释是：视习视习是汉语词汇，读音是shìxí，意思是见习。视习的网络解释是：视习视习是汉语词汇，读音是shìxí，意思是见习。拼音是：shìxí。结构是：视(左右结构)习(独体结构)。注音是：ㄕ_ㄒ一_。视习的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】见习。二、引证解释⒈见习。引郭沫若《＜少年维特之烦恼＞序引》：“此地有德意志帝国法院，当时年少的佛朗克府律师要在本地创业出庭以前，照例当来此视习。”关于视习的成语习俗移性陈规陋习相习成风秋风习习蹈故习常习非成是习非成俗习以成俗循诵习传关于视习的词语不习水土陈规陋习积习相沿风成化习不习地土习俗移性蹈故习常习非成是习非成俗相习成风点此查看更多关于视习的详细信息

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很多很多。例如：1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=？更一般地：当k为奇数时，求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=? 欧拉已经求出了：(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6并且给出了当k为偶数时的表达式。于是，于是他提出了上述问题。2、e+π的超越性：背景：此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题（又称黎曼猜想）。 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ，(s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 背景：此为希尔伯特第8问题。 现已证明：ζ(s)函数中，前300万个零点确实符合猜想。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 背景： 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）。 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。 1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。 但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。 所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 背景： 这角古猜想（1930）。 人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果 是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质 量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。 P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已 知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个 算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。 由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚。 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。 经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之 后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真 正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。 = 一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了，这次是真的！」[14]。 数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关。 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他 们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 上同调类的有理组合。」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾

《哀希腊歌》希腊岛，希腊岛，诗人沙孚安在哉？爱国之诗传最早。战争平和万千术，其术皆自希腊出。德娄飞布两英雄，渊源皆是希腊族。吁嗟乎！漫说年年夏日长，万般消歇剩斜阳。莫说侁佃二族事，繁华一夕尽消沉。万玉哀鸣侠子瑟，群珠乱落美人琴。迤南海岸尚纵横，应愧于今玷盛名。侠子美人生聚地，悄然万籁尽无声。吁嗟乎！琴声摇曳向西去，昔年福岛今何处？马拉顿后山如带，马其顿前横碧海。我来独为片刻游，犹梦希腊是自由。吁嗟乎！闲立试向波斯冢，宁思身为奴隶种。有王危坐石岩倚，临深远望沙拉米。海舶千艘粉如蚁，此国之民彼之子。吁嗟乎！白日已没夜已深，希腊之民无处寻。希腊之民不可遇，希腊之国在何处？但余海岸似当年，海岸沉沉亦无语。多少英雄古代诗，至今传诵泪犹垂。琴荒瑟老豪华歇，当是英雄气尽时。吁嗟乎！欲作神圣希腊歌，才薄其奈希腊何！一朝宫社尽成墟，可怜国种遂为奴。光荣忽傍夕阳落，名誉都随秋草枯。岂无国士生列岛，追念夙昔伤怀抱。我今漂白一诗人，对此犹惭死不早。吁嗟乎！我为希腊几颦蹙，我为希腊一痛哭。止哭收泪挺身起，念汝高曾流血死。不信赫赫斯巴达，今日无一忠义士。吁嗟乎！三百勇士今何之，退某背黎草离离。不闻希腊生人声，但闻鬼啸作潮鸣。鬼曰生者一人起，我曹虽死犹助汝。吁嗟乎！希腊之人口尽喑，鬼声相答海天阴。叩弦为君歌一曲，沙明之酒盈杯绿。万枪齐举向突厥，流血死耳休来复。吁嗟乎！愿君倾耳听我歌，君不应兮奈君何。君今能作霹雳舞，霹雳军阵在何处？舞仪军式两有名，军式已亡舞仪存。吁嗟乎！试读先人卡母书，谁则教君今为奴？且酌沙明盈酒杯，恼人时事不须提。当年政治从多数，为忆阿明克朗诗。吁嗟乎！国民自是国权主，纷纷暴君何足数。暴君昔起遮松里，当时自由犹未死。曾破波斯百万师。至今人说米须底。吁嗟乎！本族暴君罪当诛，异族暴君今何如？劝君莫放酒杯干，白卡之岸苏里岩。上有一线成海湾，斗孛直母生其间。吁嗟乎！其间或布自由种，谁实获之希腊种。劝君莫信佛朗克，自由非可他人托。佛朗克族有一王，狡童深心不可测。可杔惟有希腊军，可杔惟有希腊刀。劝君信此勿复疑，自由托人终徒劳。吁嗟乎！突厥之暴佛朗狡，希腊分裂苦不早。沙明之杯千盅注，天女联翩齐起舞。眼波如水光盈盈，但将光线射倾城。吁嗟乎！为奴之民孰顾汝，我窃思之泪如雨。置身苏灵之高山，四围但见绿波环。波声哭声两不止，一曲歌终从此死。吁嗟乎！奴隶之国非所庸，一掷碎汝沙明盅。

视习的解释 见习。 郭沫若 《＜ 少年 维特之烦恼＞序引》 ：“此地有 德意志帝国 法院，当时年少的 佛朗克府 律师要在本地创业出庭以前， 照例 当来此视习。” 词语分解 视的解释 视 （视） ì 看：视觉。视力。视野。 鄙视 。注视。近视。视而不见。 熟视无睹 。 亲临某事： 视事 。视察。 看待： 藐视 。重视。 等闲 视之。 看望 ：探视。省（媙 ）视。 比照：“天子之卿受地视侯”。 古同“示” 习的解释 习 （习） í 学过后再温熟 反复 地学，使熟练： 练习 。学习。实习。 学：习文。习武。 对某事熟悉：习见。习闻。 习以为常 。 长期重复地做， 逐渐 养成的不 自觉 的活动： 习惯 。积习。陈规陋习。 相因：世代相习。

必须有地

视习的词语有：积习成癖，习俗移性，习以为常。视习的词语有：积习相沿，蹈故习常，习非成是。2：结构是、视(左右结构)习(独体结构)。3：注音是、ㄕ_ㄒ一_。4：拼音是、shìxí。视习的具体解释是什么呢，我们通过以下几个方面为您介绍：一、词语解释【点此查看计划详细内容】见习。二、引证解释⒈见习。引郭沫若《＜少年维特之烦恼＞序引》：“此地有德意志帝国法院，当时年少的佛朗克府律师要在本地创业出庭以前，照例当来此视习。”三、网络解释视习视习是汉语词汇，读音是shìxí，意思是见习。关于视习的成语循诵习传习俗移性秋风习习相习成风蹈故习常习非成是陈规陋习习以成俗习非成俗点此查看更多关于视习的详细信息

奥地利著名华尔兹舞曲作曲家约翰.施特劳曾在科堡居住多年并辞世于科堡，他专为这座公爵王室之城谱写了《科堡进行曲》。基督教领袖马丁路德1530年在科堡城堡度过了流亡生活。 科堡碉堡(Veste Coburg)建造于13世纪初的著名科堡碉堡位于图林根森林和麦恩峡谷之间，挺立在山顶雄传壮观。城堡内的历史博物馆收藏了中世纪兵器及艺术珍品。基督教领袖马丁路德于1530年曾在此过了流亡生活。 名誉宫(Schloss Ehrenerg)位于邻近市中心的名誉宫(Schloss Ehrenerg)、宫廷花园(Hofgarten)，哥特式建筑风格的夏日避暑玫瑰宫(Schloss Rosenau) 和郊外的卡伦山宫(Schloss Callenberg)均是客人必游之地。玫瑰宫(Schloss Rosenau)艾伯特亲王是在科堡乡郊的玫瑰宫出生和领洗的，并在此渡过童年和学习。他和女皇曾回来居住，其时女皇被这里的如画风光所深深吸引。科堡大城堡科堡独具王室贵胄气势的魅力至今熠熠生辉，建于13世纪初的著名的科堡大城堡挺立在图林根森林的麦恩峡谷山顶，城堡中的历史博物馆收藏着令人叹为观止的艺术珍品和中世纪的兵器。参观科堡至今保存完好的诸多古堡，让人顿生穿越时空隧道，领略中世纪生活的历史厚重感与无以名状的愉悦美感。科堡大剧院宫廷花园 Hofgarten 和名誉宫广场边 Schloss Ehrenerg 的科堡大剧院建造于1826年，现代式三层观众席与古典华丽的装潢相得益彰。这里每年上演许多世界著名的歌剧、芭蕾舞剧和话剧，科堡交响乐为听众演奏名作曲家的交响乐。每逢夏季各地艺人纷纷在科堡名誉宫广场的舞台献艺。市集广场科堡市集广场那香气袭人的烤香肠，一经品尝，令人终身难忘;环绕集市的建筑以文艺复兴时期的华丽和传统木架构造的，深深印入游人的脑海。卡伦山宫在风景如画的卡伦山宫和在冬季漫步在图根森林或佛朗克森林﹐如同置身童话世界。而白雪覆盖的高山滑雪场，令游客难以抗拒高山滑雪运动的诱惑。圣莫里茨基督大教堂圣莫里茨基督大教堂坐落在科堡大城堡山脚下，四所以贵族家族命名的高等中学环绕着这座宏伟的大教堂。德国著名诗人歌德的父亲就曾是其中的卡西密利亚高等中学最早的学生。十四圣灵教堂离科堡20多公里的麦恩峡谷矗立的天主教堂 -十四圣灵教堂，一派典型的哥德色建筑风格，是德国最华丽的教堂之一。紧邻十四圣灵教堂的伴伺宫，幽静肃穆，是出家人生活修炼的地方。

温习自习练习习武风习学习习惯习俗演习习见习艺恶习习气预习习尚习字习题固习

题列出来

世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯研究一直没有进展。 1852年10月，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 -------- 世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多）。 费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法 找到整数解。当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。 虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。 ---------------- 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。1742年6月，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3.3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。 几个未解的题。 1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地： 当k为奇数时 求(1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=? 欧拉已求出： (1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6 并且当k为偶数时的表达式。 2、e+π的超越性 此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题。 证明：ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。 引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 这是卡塔兰猜想（1842）。1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 这角古猜想（1930）。人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass GapHypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的≥广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-DyerConjecture）一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。」最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》

很多很多。例如：1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=？更一般地：当k为奇数时，求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=? 欧拉已经求出了：(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6并且给出了当k为偶数时的表达式。于是，于是他提出了上述问题。2、e+π的超越性：背景：此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题（又称黎曼猜想）。 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ，(s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 背景：此为希尔伯特第8问题。 现已证明：ζ(s)函数中，前300万个零点确实符合猜想。引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 背景： 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）。 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。 1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。 但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。 所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 背景： 这角古猜想（1930）。 人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果 是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质 量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。 P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已 知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个 算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。 由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚。 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。 经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之 后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真 正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。 = 一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了，这次是真的！」[14]。 数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关。 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他 们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 上同调类的有理组合。」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾

美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。 “千 僖难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘 附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个 人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数 13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用 一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解， 被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。 “千僖难题”之 二： 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块 粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对 象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断 言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 “千 僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适 当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年 以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困 难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然 数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函 数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证 明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几 何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲 粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于 “夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的 新观念。 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理 解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展， 使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这 就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的 方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。 特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。 八： 几何尺规作图问题 这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做正十七边形。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决 的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十 七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 九：哥德巴赫猜想 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 十： 四色猜想 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有 共同边界的国家着上不同的颜色。” 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了 四色猜想的大会战。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四 色猜想的计算机证明，轰动了世界。

几个未解的题。 1、求 (1/1)^3+（1/2）^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+ … +（1/n）^3=? 更一般地： 当k为奇数时 求 (1/1)^k+（1/2）^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+ … +（1/n）^k=? 背景： 欧拉求出： (1/1)^2+（1/2）^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +（1/n）^2=（π^2）/6 并且当k为偶数时的表达式。 2、e+π的超越性 背景 此题为希尔伯特第7问题中的一个特例。 已经证明了e^π的超越性，却至今未有人证明e+π的超越性。 3、素数问题。 证明： ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … (s属于复数域) 所定义的函数ζ(s)的零点，除负整实数外，全都具有实部1/2。 背景： 此即黎曼猜想。也就是希尔伯特第8问题。 美国数学家用计算机算了ζ(s)函数前300万个零点确实符合猜想。 希尔伯特认为黎曼猜想的解决能够使我们严格地去解决歌德巴赫猜想（任一偶数可以分解为两素数之和）和孪生素数猜想（存在无穷多相差为2的素数）。 引申的问题是：素数的表达公式？素数的本质是什么？ 4、 存在奇完全数吗？ 背景： 所谓完全数，就是等于其因子的和的数。 前三个完全数是： 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 目前已知的32个完全数全部是偶数。 1973年得到的结论是如果n为奇完全数，则： n>10^50 5、 除了8=2^3,9=3^2外，再没有两个连续的整数可表为其他正整数的方幂了吗？ 背景： 这是卡塔兰猜想（1842）。 1962年我国数学家柯召独立证明了不存在连续三个整数可表为其它正整数的方幂。 1976年，荷兰数学家证明了大于某个数的任何两个正整数幂都不连续。因此只要检查小于这个数的任意正整数幂是否有连续的就行了。 但是，由于这个数太大，有500多位，已超出计算机的计算范围。 所以，这个猜想几乎是正确的，但是至今无人能够证实。 6、 任给一个正整数n，如果n为偶数，就将它变为n/2,如果除后变为奇数，则将它乘3加1（即3n+1）。不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1吗？ 背景： 这角古猜想（1930）。 人们通过大量的验算，从来没有发现反例，但没有人能证明。 三 希尔伯特23问题里尚未解决的问题。 1、问题1连续统假设。 全体正整数（被称为可数集）的基数 和实数集合（被称为连续统）的基数c之间没有其它基数。 背景：1938年奥地利数学家哥德尔证明此假设在集合论公理系统，即策莫罗-佛朗克尔公理系统里，不可证伪。 1963年美国数学家柯恩证明在该公理系统，不能证明此假设是对的。 所以，至今未有人知道，此假设到底是对还是错。 2、问题2 算术公理相容性。 背景：哥德尔证明了算术系统的不完备，使希尔伯特的用元数学证明算术公理系统的无矛盾性的想法破灭。 3、 问题7 某些数的无理性和超越性。 见上面 二 的 2 5、 问题 8 素数问题。 见上面 二 的 3 6、 问题 11 系数为任意代数数的二次型。 背景：德国和法国数学家在60年代曾取得重大进展。 7、 问题 12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广。 背景：此问题只有些零散的结果，离彻底解决还十分遥远。 8、 问题13 仅用二元函数解一般7次代数方程的不可能性。 背景：1957苏联数学家解决了连续函数情形。如要求是解析函数则此问题尚未完全解决。 9、 问题15 舒伯特计数演算的严格基础。 背景： 代数簌交点的个数问题。和代数几何学有关。 10、 问题 16 代数曲线和曲面的拓扑。 要求代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。和微分方程的极限环的最多个数和相对位置。 11、 问题 18 用全等多面体来构造空间。 无限个相等的给定形式的多面体最紧密的排列问题，现在仍未解决。 12、 问题 20 一般边值问题。 偏微分方程的边值问题，正在蓬勃发展。 13、 问题 23 变分法的进一步发展。 四 千禧七大难题 2000年美国克雷数学促进研究所提出。为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题。每一道题的赏金均为百万美金。 1、 黎曼猜想。 见 二 的 3 透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。 2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由 数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子 物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。 杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们 碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果 是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷 的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定 该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质 量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。 3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。 P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已 知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下 就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个 算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来 的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是 Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。 由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有 些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这 就是相当著名的PNP 问题。 4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了 新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学 推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。 自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道 的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方 程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证 明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。 解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱 流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥 地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维 尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两 者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚。 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题，自庞加莱在西元1904 年提出之 后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将 之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形，如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。 经过近60 年后，西元1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维、四维的困难，直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之 后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真 正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。 = 一直到西元2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了，这次是真的！」[14]。 数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞。 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关。 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限 呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷 多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他 们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之 上同调类的有理组合。」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可 能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》