- 苏萦
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9折出售获利215元,8折出售亏损125元,则商品进货价为2845元。
设进价为a;
(a+215)÷0.9=(a-125)÷0.8;
8(a+215)=9(a-125);
a=2845;
所以进价为2845元。
拓展资料:
数学解方程:
1.配方法(可解部分一元二次方程)。
2.公式法(可解部分一元二次方程)。
3.因式分解法(可解部分一元二次方程)。
4.开方法(可解全部一元二次方程)一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器有解方程的,不过要一般形式)。
一、知识要点:
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基础,应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为:ax^2+bx+c=0,(a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解。
法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
二、方法、例题精讲:
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形。
如(x-m)2=n(n≥0)的方程,其解为x=m±√n;
例1.解方程(1)(3x+1)^2=7(2)9x^2-24x+16=1;1
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)^2=7;
∴(3x+1)^2=7;
∴3x+1=±√7(注意不要丢解);
∴x=.;
∴原方程的解为x1=.,x2=.;
(2)解:9x^2-24x+16=11;
∴(3x-4)^2=11;
∴3x-4=±√11;
∴x=.;
∴原方程的解为x1=.,x2=.;
2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0(a≠0);
先将固定数c移到方程右边:ax^2+bx=-c;
将二次项系数化为1:x^2+x=-;
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+x+()2=-+()2;
方程左边成为一个完全平方式:(x+)2=;
当b2-4ac≥0时,x+=±;
∴x=.(这就是求根公式);
例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0;
解:将常数项移到方程右边3x^2-4x=2;
将二次项系数化为1:x^2-x=;
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x^2-x+()^2=+()^2;
配方:(x-)^2=;
直接开平方得:x-=±;
∴x=;
∴原方程的解为x1=,x2=.;
3.公式法:把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式,然后把各项系数a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。
当b^2-4ac>0时,求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a(两个不相等的实数根);
当b^2-4ac=0时,求根公式为x1=x2=-b/2a(两个相等的实数根);
当b^2-4ac<0时,求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a(两个共轭的虚数根)(初中理解为无实数根);
例3.用公式法解方程2x^2-8x=-5;
解:将方程化为一般形式:2x^2-8x+5=0;
∴a=2,b=-8,c=5;
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0;
∴x===;
∴原方程的解为x1=,x2=.;
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x^2+3x=0;
(3)6x^2+5x-50=0(选学)(4)x^2-4x+4=0(选学);
(1)解:(x+3)(x-6)=-8化简整理得;
x^2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零);
(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式);
∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程);
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x^2+3x=0;
x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式);
∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程);
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0;
(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错);
∴2x-5=0或3x+10=0;
∴x1=,x2=-是原方程的解。
(4)解:x^2-4x+4=0(∵4可分解为2·2,∴此题可用因式分解法);
(x-2)(x-2)=0;
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。
(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0(2)x^2+2x-3=0;
(3)x2-2 x=-(4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0;
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0;
(5x-5)(-x+13)=0;
5x-5=0或-x+13=0;
∴x1=1,x2=13;
(2)解:x^2+2x-3=0;
[x-(-3)](x-1)=0;
x-(-3)=0或x-1=0;
∴x1=-3,x2=1;
(3)解:x^2-2 x=-;
x^2-2 x+=0(先化成一般形式);
△=(-2)^2-4×=12-8=4>0;
∴x=;
∴x1=,x2=;
(4)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0;
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0;
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0;
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0;
∴x1=,x2=;
例6.求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法);
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0;
即(5x-5)(2x-3)=0;
∴5(x-1)(2x-3)=0;
(x-1)(2x-3)=0;
∴x-1=0或2x-3=0;
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0;
解:x^2+px+q=0可变形为;
x^2+px=-q(常数项移到方程右边);
x^2+px+()2=-q+()2(方程两边都加上一次项系数一半的平方);
(x+)2=(配方);
当p^2-4q≥0时,≥0(必须对p^2-4q进行分类讨论);
∴x=-±=;
∴x1=,x2=;
当p^2-4q<0时,<0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p,q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。
练习:
(一)用适当的方法解下列方程:
1.6x^2-x-2=0 2.(x+5)(x-5)=3;
3.x^2-x=0 4.x^2-4x+4=0;
5.3x2+1=2x 6.(2x+3)2+5(2x+3)-6=0;
(二)解下列关于x的方程;
1.x^2-ax+-b2=0 2.x^2-(+)ax+a2=0;
练习参考答案:
(一)1.x1=-1/2,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2;
3.x1=0,x2=4.x1=x2=2 5.x1=x2=;
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式);
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0;
即(2x+9)(2x+2)=0;
∴2x+9=0或2x+2=0;
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x^2-ax+(+b)(-b)=0 2、解:x^2-(+)ax+a·a=0;
[x-(+b)][x-(-b)]=0(x-a)(x-a)=0;
∴x-(+b)=0或x-(-b)=0 x-a=0或x-a=0;
∴x1=+b,x2=-b是∴x1=a,x2=a是;
原方程的解。;
选择题:
1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是();
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5;
2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为()。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7;
3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个根是()。
A、0 B、1 C、-1 D、±1;
4.一元二次方程ax^2+bx+c=0有一个根是零的条件为()。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0;
C、b=0且c=0 D、c=0;
5.方程x^2-3x=10的两个根是()。
A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5;
6.方程x^2-3x+3=0的解是()。
A、B、C、D、无实根;
7.方程2x^2-0.15=0的解是()。
A、x=B、x=-;
C、x1=0.27,x2=-0.27 D、x1=,x2=-;
8.方程x^2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是()。
A、(x-)2=B、(x-)2=-;
C、(x-)2=D、以上答案都不对;
9.已知一元二次方程x^2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是()。
A、(x-1)^2=m2+1 B、(x-1)^2=m-1 C、(x-1)^2=1-m D、(x-1)^2=m+1;
答案与解析:
答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D;
解析:
1.分析:移项得:(x-5)^2=0,则x1=x2=5,
注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。
2.分析:依题意得:a^2+4a-10=11,解得a=3或a=-7.
3.分析:依题意:有a+b+c=0,方程左侧为a+b+c,且具仅有x=1时,ax^2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1
时,方程成立,则必有根为x=1。
4.分析:一元二次方程ax^2+bx+c=0若有一个根为零,
则ax^2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以c=0.
另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单!
5.分析:原方程变为x^2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0;
x-5=0或x+2=0;
x1=5,x2=-2;
6.分析:Δ=9-4×3=-3<0,则原方程无实根。
7.分析:2x2=0.15;
x2=;
x=±;
注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。
8.分析:两边乘以3得:x^2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x^2-3x+(-)2=12+(-)^2,
整理为:(x-)2=方程可以利用等式性质变形,并且x^2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9.分析:x^2-2x=m,则x^2-2x+1=m+1则(x-1)^2=m+1。
- 再也不做站长了
-
设标价为X
公式Xx0.9-215=Xx0.8+125
解得:0.1X=340
X=3400
成本价是0.9x3400-215=2845元